Maxwell-Boltzmanni distributsioon

Originaal: https://faculty.wcas.northwestern.edu/infocom/Ideas/mbdist.html

Maxwell-Boltzmanni jaotus on võrrand, mille tuletas esmakordselt James Clerk Maxwell 1859. aastal ja laiendas Ludwig Boltzmann 1868. aastal, mis annab tõenäosuse, et iga antud gaasimolekul ideaalses gaasis liigub kindla kiirusega. Kuigi me räägime sageli ideaalsest gaasist kui "konstantse" temperatuuriga gaasist, on ilmne, et igal molekulil ei saa tegelikult olla sama temperatuur. Selle põhjuseks on asjaolu, et temperatuur on seotud molekulaarse kiirusega ja 10 20 gaasimolekuli asetamine suletud kambrisse ja neil juhuslikult üksteise vastu põrutamine on parim viis, kuidas ma suudan tagada, et need kõik ei liiguks sama kiirusega.

Graafik näitab Maxwell-Boltzmanni kiiruse-tõenäosuse kõverat ideaalse gaasi jaoks kahel temperatuuril. Tõenäosus joonistatakse piki y-telge enam-vähem suvalistes ühikutes; molekuli kiirus on kantud piki x-telge ühikutes m/s. See kõver ühendab täpselt gaasimolekuli (hetkelise) kiiruse suhtelise tõenäosusega, et sellel on see kiirus. Pange tähele, et kõveratel on silmatorkavad piigid, mis vastavad molekuli kõige tõenäolisemale kiirusele ja (ligikaudu) gaasi absoluutsele temperatuurile. Peaksime tähele panema kahte asja:

1) Maxwell-Boltzmanni kõverad on gaasi puhul 80 °K ja 300 °K juures märkimisväärselt erinevad. Kui gaas muutub külmemaks, ei nihku selle tipp mitte ainult vasakule (madalam temperatuur = aeglasemad molekulid), vaid ka selle tipp muutub kõrgemaks ja palju kitsamaks. Madalamatel temperatuuridel on saadaval vähem energiat, mistõttu gaasimolekulid kipuvad olema nõrgemad ja liiguvad kiirustel, mis üksteisest nii palju ei erine. Piiril, kus ideaalne gaas viiakse absoluutse nullini, lakkaksid molekulid üldse liikumisest ja oleksid seetõttu tegelikult konstantsel kiirusel.

2) Kõrgematel temperatuuridel Maxwell-Boltzmanni kõverad lamenduvad. Saadaval on rohkem energiat, seega on praegu palju energilisemaid kokkupõrkeid, millega molekuli potentsiaalselt keskmisest kiirusest palju kiiremini edasi lükata. Eelkõige pöörake tähelepanu mõlema kõvera parempoolsele alale. Kiirusel 1000 m/s on sellise kiirusega T=80 molekuli tõenäosus sisuliselt null. Kuid T=300 puhul on tõenäosus väike, mitte null. Seega, kuigi kiirusega 1000 m/s liikuvate molekulide protsent T = 300 on mis tahes standardi järgi väike, on suheT=300 ja T=80 gaaside tõenäosus on üsna suur, sest T=80 juhtumiga jagamine on peaaegu nagu nulliga jagamine. Teisisõnu võib gaasi suhteliselt tagasihoidlik temperatuuri tõus mitmekordistada äärmiselt kuumade, väikese tõenäosusega molekulide arvu sadu või tuhandeid kordi. See osutub tähtede energiatootmise seisukohast kriitiliseks, teemat käsitlen hiljem kursusel.